【AVILEN】基礎講座～統計学入門～

mer0 2021年12月14日カード53 いいね1

単語カード

未知定数

母分散や母平均などの未知ではあるが必ず存在する定数の事。
標本点コロを1回試行→1がでた場合の標本点は1

試行を行った際に起こりえる、それぞれの個々の結果のこと。例: サイ
ベルヌーイ試行

「コインを投げたときに表が出るか裏が出るか」のように、何かを行ったときに起こる結果が2つしかない試行のこと。
平均は、試行結果から得られた値。期待値は、試行を行った結果期待される値。平均は標本、期待値は母集団に関係する。

平均と期待値の違い
a^2Var(X)

分散の性質: Var(aX+b) = 大文字@は確率変数、小文字@は定数
Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)

分散の性質: Var(X+Y) = 大文字@は確率変数、小文字@は定数
E(X^2) - E(X)^2

分散の性質: V(X) =
E(X)^2 + V(X)

期待値の性質: E(X^2) =
パラメトリックな手法

対象データが何らかの確率分布から発生すると仮定し、母集団を解析する手法。
ノンパラメトリックな手法

確率分布を仮定せずに、母集団を解析する手法。
母パラメータ(パラメータ)

母平均や母分散のような母集団の特徴を決定できる要素のこと。
E(X) = ∑Xf(X)

離散型確率関数の期待値
E(X) = ∫xf(x)dx

連続型確率関数の期待値
V(X) = ∑(X-E(X))^2f(x)

離散型確率関数の分散
V(X) = ∫(X-E(X))^2f(x)dx

連続型確率関数の分散
確率分布

確率変数がとる値とその値をとる確率の対応の様子。
確立質量関数

離散型確率変数がある値をとる確率をf(x)関数とした場合、f(x)のこと。
累積分布関数　※F(x)で表記連続型変数の場合、-∞からxまでと考える

確率変数がある値以下（X≦x）の値となる確率」を表す関数。
確率密度関数 ※f(x)で表記

連続型確率変数Xがある値xをとる確率密度(定義域内での値の「相対的な出やすさ」)を出力する関数
正規分布の再生成

正規分布N(μ₁, σ²₁)に従うあるデータと、そのデータとは独立な正規分布正規分布N(μ₂, σ²₂)に従うデータを足したデータは、正規分布N(μ₁+μ₂, σ²₁+σ²₂)に従う事。
標準正規分布　※N(0, 1)

正規分布の中で、「平均μ=0、分散σ²=1」である正規分布
z値（標準化得点)

平均を引いて、分散で割った値の事を「標準化」といい、標準化した値の事を何と呼ぶか。
標本分布

母平均を推測する上で、母集団から無作為に選んだ標本の平均の分布のこと。
大数の法則

母平均がμである集団から標本を抽出する場合、サンプルサイズ(標本の大きさ)が大きくなるにつれて、標本平均は母集団μに近づくこと。
中心極限定理

標本を抽出する母集団が平均μ、分散σ²の正規分布に従う、従わない関係なく、抽出するサンプルサイズ(n)が大きくなるにつれて、標本平均はの分布は「平均μ、分散σ²/n」の正規分布N(μ, σ²/n)に近づくこと。
指数分布　※X～Ex(λ)と記載する。

連続型確率分布の一つで、機械が故障してから次に故障するまでの期間や、災害が起こってから次に起こるまでの期間のように、ある期間に平均してλ回起きる現象が次に起きるまでの期間が従う分布。
添付画像参照

指数分布の確率密度関数。
E(x)= 1/λ, V(X)= 1/λ²

確率変数Xが指数分布に従っているときの、期待値と分散。
F(x) = 1-e^(-λx)

指数分布の累積分布関数
離散一様分布 ※X～U(a, b)と表記する

サイコロの目のように、確率変数が離散型である場合に、すべての事象の起こる確率が等しい分布のこと。
添付画像参照

離散一様分布の期待値と分散
添付画像参照

連続一様分布の確率密度関数。
添付画像参照

連続一様分布の期待値と分散
F(x) = (x-a)/(b-a)

連続一様分布の累積分布関数
連続一様分布 ※X～U(a, b)と表記する a: 左端、b: 右端

確率変数が連続型である場合に、すべての事象の起こる確率が等しい分布のこと。
二項分布 ※X～B(n, p) n: 試行回数, p: 成功確率

ベルヌーイ試行をn回行って、成功する回数Xが従う確率分布のこと。
ベルヌーイ分布　※X～B(1, p) p: 成功確率

ベルヌーイ試行によって得られる確率分布のこと。
E(X)=p, V(X)=p(1-p)

ベルヌーイ分布の期待値と分散
E(X)=np, V(X)=np(1-p)

二項分布の期待値と分散
マルチヌーイ分布（カテゴリカル分布）

1回の試行で複数の結果が確率的に発生するとき、その結果が従う分布のこと。
ポアソン分布　※X～Po(λ)

ある期間に平均λ回(一定)起こる現象が、ある期間にX回起きる確率の分布のこと。
添付画像参照

ポアソン分布の確率分布関数。
E(X)=λ, V(X)=λ

ポアソン分布の期待値と分散
幾何分布

成功確率がpである独立なベルヌーイ試行を繰り返すとき、初めてて成功するまでの試行回数Xが従う確率分布のこと。
添付画像参照

幾何分布の期待値と分散
推定

母集団を特徴づける母数（パラメータ：平均など）を統計学的に推測すること。
検定

母集団から抽出された標本の統計量に関する仮説が正しいかを統計学的に判定すること。
点推定

母集団から抽出された標本を用いて母集団を特徴づけるパラメータ（母数）を推測する推定方法。
区間推定

母集団の従う分布が正規分布であると仮定できるときに、標本から得られた値を使ってある区間でもって母平均などの母数を推定する推定方法。
標準誤差（SE）

推定量のばらつきを表すパラメータ（指標）のこと。
2変量正規分布

2つの連続型確率変数X, Yが正規分布にそれぞれ従う時のX, Yの同時確率密度関数(添付資料参照)をもつ、2次元の確率分布のこと。
E(Y|X=x) = µy + ρσy/σx(X-µx)

確立変数X=xを与えたときのYの条件付き分布の期待値
V(Y|X=x) = σ²y(1-ρ²)

確立変数X=xを与えたときのYの条件付き分布の分散