【AVILEN】基礎講座～線形代数～ / 暗記

スカラー

ただ一つの数字例) 0、-2、√2、1/2
ベクトル

順番にならんだ数字（一般的に縦に並べる）
行列

二次元的に並んだ数字（縦の並びを列、横の並びを行と呼ぶ）
nxm行列

行数n、列数mの行列をnxmの行列
正方行列

行数と列数が同じ行列
テンソル

3次元以上に並んだ数字
成分

ベクトル・行列・テンソルに含まれている一つ一つの数字を何と呼ぶか。
トレース(Tr(A))

正方行列の時に適応できる計算方法で、行列の左上の成分からの対角成分の和を元めること。
行列式(det(A) or |A|)

正方行列の時に適応できる計算方法で、逆行列や連立一次方程式の解を表現する際に必要となる重要な数値。サラスの公式(青線の積は+1を、赤線の積は-1をかけてその和を計算)を用いて計算する。
ノルム

ベクトルの大きさを表す　※行列でも定義が存在
L1ノルム

ベクトルの各成分の絶対値の和でベクトルの大きさを表す方法
L2ノルム

ベクトルの各成分の2乗和の平方根をとったものでベクトルの大きさを表す方法
行列積

右側の列ベクトルと左側の行ベクトルの同indexどうしの内積を取り合計する計算方法。
(1, -1)の行ベクトル

4x2の行列があり、1列目は今月の体重、2列目は先月の体重データがあったとする。今月と先月の体重の差分を求めたい時、どの値で内積を計算すればよいか。
0

足し算の単位は? 単位とはある数に足し算をしても同じ値を返すもの。
1

掛け算の単位は? ある数にかけ算をしても同じ値を返すもの。
単位行列(I) 対角成分が1、それ以外が0となるなっている正方行列

行列の単位は? 単位とは右から行列積を計算しても左から行列積を計算しても同じ値が返る
逆行列 (A^-1)

行列積をとると結果が単位行列となるような行列。
吐き出し法

逆行列を算出する為の方法の一つ。行列の右側に単位行列を連結し、その状態で元の行列が単位行列になるように加減法を用いて計算。連結した単位行列が求めたい逆行列になる。
余因子(Δij)

行列Aのi行目とj列名を除いた行列の行列式(det)を(-1)^(i+j)倍したもの。
転置行列(A^t)

mxn行列をnxm行列に行と列を入れ替えた行列
対角行列対角行列同士をかけると同じ値が返る。対角行列のべき乗は各成分をべき乗した値。対角行列の行列式は対角成分を全てかけた値。

正方行列であり、行列の左上からの対角成分のみ0以上の数値が与えられ、非対角成分の値は全て0であるような行列。あるベクトルのそれぞれの成分に対し何倍したい場合等に利用できる。
対象行列

正方行列であり、対角成分を軸に対象とする値が同一な行列。転置しても同じ行列が返る。
直行行列行列式は±1、直行行列の逆行列も直行行列

正方行列であり、ある行列の転置行列と逆行列が一致する(A^T=A^-1)ような行列。回転や軸を入れ替えたい際に利用する行列。
固有値

正方行列×ベクトルの計算で方向を変えずに大きさ(倍率)だけ変わるベクトルにおける、変化する倍率のこと。
固有ベクトル

正方行列×ベクトルの計算で方向を変えずに大きさ(倍率)だけ変わるベクトルにおける、ベクトルのこと。※正方行列にしか対応できない一般的な行列×ベクトルの計算は新しいベクトル(別の方向に移動するベクトル)が得られる。
det(A-λI)=0 λは固有値、Iは単位行列、detは行列式

正方行列Aの固有値・固有ベクトルの求め方
特異値分解(A=UDV^T) Uは左特異ベクトル、Dは特異値(固有値の平方根)、V^Tは右特異ベクトルを転置した行列

固有値計算と異なり正方行列以外の行列(A)にも適応可能な分解方法。
AA^T 行列Aとその転置行列を駆けると必ず正方行列になる。

左特異ベクトルの計算方法
A^TA 行列Aとその転置行列を駆けると必ず正方行列になる。

右特異ベクトルの計算方法
1

特異値分解における特異点は、ノルムを何になるように設定するか。
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