位相空間 定義
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数学の人
2025年01月25日
カード45
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開集合
位相空間(X,O)のOに属する部分集合
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開近傍
pを含む開集合
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近傍
pの開近傍を含むXの部分集合
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内部A
Aに含まれる最大の開集合
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閉包A
Aを含む最小の閉集合
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連続
位相空間(X,Ox),(Y,Oy)に対し、任意のf(p)の近傍N'に対してpの近傍Nが存在してf(N)⊂N'がなりたつときfはpで連続
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相対位相
(X,O)の部分集合Aに対してOA={A∩Ω|Ω⊂O}
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離散位相
O=2^Xで与えられる位相
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密着位相
O={空集合,X}で与えられる写像（空でない集合（例えば1点）の閉包は常にX）
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開被覆
(X,O)の開集合族U={Uα}α⊂AがX全体を覆う時のU
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コンパクト
(X,O)の任意の開被覆が有限部分被覆をもつ
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集積点
xの任意の近傍Uに対して、U∩Aがx以外の点を含むとき、xをAの集積点という
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孤立点
aが{a}=U∩Aとなる近傍Uを持つ。
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フレッシェ空間
1点からなる集合が常に閉集合であるような位相空間
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点列コンパクト
任意の点列が収束部分列を持つような空間
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ルベーグ数
(X,d)を点列コンパクト距離空間とし、U={Uα}α⊂Aを回避服とする。この時ρ>0で任意のxに対してBρ(x)⊂Uαとなるαが存在するようなものが取れる。このρがルベーグ数
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ε-net
(X,d)を距離空間としたとき、A⊂Xとε>0に対して{Bε(p)}p∈Aが開被覆となる時のA
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全有界
任意のε>0に対して、有限集合A={p1,p2,...pN}が存在して、ε-netとなる時の(X,d)を全有界という
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同程度連続、一様同程度連続
(X,dx),(Y,dy)を距離空間、C(X,Y)をXからYへの連続写像全体のなす集合、Λ⊂C(X,Y)を連続写像族とする。任意のイプシロン>0,x∈Xに対して、δ(x,ε)>0が存在して、f(BXδ(x))⊂Byε(f(x))がどのf∈Λについても成り立つ時Λを同程度連続という。δがxにもεにもよらない時、一様同程度連続という。
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基本近傍系、基本開近傍系
xの近傍の族N(x)がxの任意の近傍Uに対し、N⊂Uとなる近傍Nを含む時N(x)を基本近傍系という。N(x)に属する近傍が全て開集合の時、基本開近傍系という。
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第一可算公理
全てのxにおいて、N(x)={B1/n(x)}n∈Nを用いて、U=∪iB1/ni(xi)の形で表される時、Xは第一可算公理を満たすという。
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開基
任意のU∈OがNに属する開集合族{Ni}i∈I⊂Nにより、U = ∪Niとかける時,Nを(X,O)の開基という
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第二可算公理
高々可算個の開集合からなる開基をもつ位相空間
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可分
加算稠密部分集合を含む位相空間
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直積位相
直積X×Y上の部分集合族Nx×y={U×V⊂X×Y|U∈Ox,V∈Oy}を開基として定める位相Ox×Oy
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位相群
群Gに位相Oが与えられた時、群Gの積演算と逆像をとる操作の演算が連続写像となるならば、G上の群の構造と位相Oを併せて位相群という。
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準開基
Sを位相空間の開集合族とした時のN={S1∩S2∩..∩Sk|S1,..,Sk∈S}
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直積位相
あ
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強い位相
あ
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商位相
あ
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開写像
あ
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弧状連結
あ
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連結
あ
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弧状連結成分
あ
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局所弧状連結
あ
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連結成分
あ
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n次元単純閉曲線
あ
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ジョルダンブラウワーの分離定理
あ
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第一分離公理
あ
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第二分離公理
あ
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第三分離公理
あ
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第四分離公理
あ
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細分
あ
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局所有限
あ
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パラコンパクト
あ
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