漸化式のアイデア
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基本指針、３種類のいづれかを創る
等差数列 An+1-An=3
等比数列 An+1/An=3
階差数列 An+1-An=(nの式)
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両辺なにかをかけてそろえる
(n+2)An+1=nAn+3
→両辺(n+1)をかけ、
(n+2)(n+1)An+1 ー (n+1)nAn=3(n+1)
→Bn=(n+1)nAnで階差数列
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部分分数分解
全部差で消えていく形
An+1=3/n*2+3n+2 An
→An+1=3×(n+2)-(n+1)/(n+1)(n+2)An
→全部順に消えていく
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全部積で消えていく形
An+1=n/(n+2)An
→An=1/3×2/4×3/5×4/6×...(n-1)/(n+1)×n/(n+2)
→全部打ち消されていく
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塁乗、1/累乗をかけてそろえる
An+1=An+(nの指数関数)
→指数関数がうっとうしいから指数関数で割ってBn+1=2Bn+3とかの形に
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理想形を文字で起き、係数比較する
復唱
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An+1=An+(nの０次)
αいれる、不動点方程式
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An+1=An+(nの１次式)
理想形を置き係数比較
An+1+α(n+1)+β=An+αn+β
別)階差を取って差分し、nの１次が消えてα
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An+1=An+(nの2,3,4,...次式)
理想形を置き係数比較
An+1+α(n+1)*2+β(n+1)+γ=An+αn*2+βn+γ
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隣接３項間
α特性方程式
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両辺逆数
An+1=2An/3An+1Anみたいな形
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An+1=3An+2/An+2みたいな形
αいれる
→２つ解、それを両辺引くと
①An+1ー2=Anー2/An+2
②An+1＋1=4(An＋1)/An+2みたいにでてくる
→①÷②したら置換で行ける
別→Anー2=BnとするとBn＝Bn/Bn+4で両辺逆数
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Anの対数をとる(Anの塁上を掛け算にできる)
An+1=8An*4
→log2An+1=3+4log2An
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階乗を創る
(n+1)An+1=An+3
→両辺n!をかける
→(n+1)!An+1=n!An+3n!
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２個まとめとかにして簡単に
(-1)*n、cosnπとかが出てきたりするととくに
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#数学 #漸化式